在数学领域，椭圆（ellipse）是圆锥曲线的一种，它是平面内到定点F（焦点）与到不通过这个点的一条定直线L(准线）的距离之比为小于1的常数e(离心率)的点的轨迹。e可以表示椭圆的扁平程度，当e越大，椭圆越扁平；当e越趋近于0，椭圆就越趋近于正圆；特别地，当e=0时，椭圆就变成圆了。我们把方程叫做椭圆的标准方程；把叫做椭圆的参数方程。

椭圆是封闭类型的圆锥曲线：追踪圆锥与平面相交的平面曲线，在公元前4世纪，被称为”锐角圆锥截线”。

椭圆在天文学、计算机图形学、统计与金融学中很常见。例如，在天文学中，利用椭圆相关的数学知识结合物理规律解决关于卫星在万有引力作用下做椭圆轨道的机械能问题。在计算机图形学中，将椭圆绘制为图形基元，MLV Pitteway在1976年将Breseham的直线算法扩展到了二次曲线。 在统计与金融学中，椭圆分布很重要，因为如果资产回报率联合椭圆分布，那么所有投资组合都可以完全由其均值和方差来表征，也就是说，任何两个具有相同投资组合回报均值和方差的投资组合都具有相同的投资组合分布返回。

椭圆词源

ἔλλειψις，英译ellipse，也就是现在称为椭圆的曲线，是由古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga）在其著作《圆锥曲线论》中提出的。

发展历史

约公元前 4 世纪，古希腊学者蒙爱启马斯(Meneachinus，约公元前375~325)在研究平面与直圆锥相交时得到了三种不同的圆锥曲线，其中截锐角圆锥所得的截线成为“锐角圆锥截线”，这种截线就是现在的“椭圆”。这也是椭圆视为圆锥截线的原始定义的由来。

公元前2世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）从纯几何的思想出发，建立起系统的圆锥曲线理论。如右图所示，他在同一个圆锥体中使用不同的切割面得到了圆、椭圆、双曲线、抛物线4种图形。阿波罗尼奥斯发表了数学著作《圆锥曲线论》，该著作详细介绍了椭圆等圆锥曲线的性质。

17世纪，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）和皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）创立了解析几何，建立起坐标系的概念，用数学方程来研究圆锥曲线的各种性质。1745 年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发表了《分析引论》，基于方程思想对椭圆曲线进行了系统的研究，建立起完整的椭圆积分等理论。

19 世纪，经法国数学卡尔·雅可比（Abel Jacobi）等人从椭圆积分发展出椭圆函数理论，将变量从实数范国延伸至复数范围。

中国古代也早对椭圆做了研究，在《测量全义》《恒星历指》等书中都记载了不少关于椭圆的知识。1742年编成的《历象考成后编》中，不仅记载了椭圆的许多性质和画法，并且研究了椭圆的切线和面积公式，特别是项名达、戴煦所著《椭圆求围术》中，用初等方法推得椭圆周长的计算公式与后人用积分方法的结果完全一致。

概念简介

椭圆（ellipse）是平面内与两个定点F,F’的距离之和等于常数（大于|F,F’|的点的轨迹。这两个顶点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆有两条相互垂直的对称轴（称为椭圆的轴），它们的交点是对称中心（称为椭圆的中心）。通过焦点的轴称为长轴，另一条轴称为短轴。两轴与椭圆的四个焦点都称为椭圆的顶点。长轴上两个顶点之间的线段被称为短轴。

椭圆定义

第一定义

平面内与两个定点的距离的和等于常数 (大于) 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

对这一定义, 应该注意：

(1) 动点到两定点的距离之和 (记作) 大于(记作)， 否则，其轨迹不是椭圆。当时, 轨迹是线段；当时,轨迹不存在。

(2) 若用表示椭圆上的动点，则有

若建立平面直角坐标系, 使，则有

是椭圆第一定义轨迹条件的数量描述形式。

第二定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是椭圆。定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做焦点对应的准线, 常数称为离心率。

对第二定义的理解,应特别注意:

(1)

(2) 点不在直线上，否则无轨迹。

(3) 根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点，因而有两条准线，并且左、右焦点与左、右准线分别对应。

(4)若是椭圆上任意一点, 设到对应准线的距 离为，到对应准线的距离为，则有

若建立平面直角坐标系，使，则有

是第二定义轨迹条件的数量描述形式。

应当指出, 椭圆的上述两个定义是等价的。事实上, 由 可得

两边减去，得

因此，

此这说明由第一定义可推出第二定义，反之亦然。

椭圆方程

标准方程

基本概念

椭圆标准方程是椭圆方程的一种规范形式，即椭圆的最简方程，椭圆的标准方程为

（焦点在横轴上）

或 （焦点在纵轴轴上）

对椭圆的标准方程, 应注意理解以下几点:

(1)标准方程中的两个参数和，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。

(2) 焦点的位置，是椭圆的定位条件, 它决定椭圆标准方程的类型。知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式；不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型..

(3)任何一个椭圆，只要选择适当的坐标系, 使椭圆的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 椭圆的方程就具有标准形式。

(4) 椭圆方程中的参数是椭圆所固有的, 与坐标系的建立无关，始终是成立的。

推导过程

建立如图4-1所示的直角坐标系，设点是椭圆上任意一点，取焦距,那么焦点、坐标分别为

又设与和之间的距离之和等于常数

根据两点间距离公式，得：

化简得

由椭圆定义可知，，即，所以

将带入上式，得

两边同时除以,得

即椭圆的标准方程

参数方程

椭圆的参数方程是椭圆方程的一种常用形式，即椭圆方程的参数表示。在平面直角坐标系下，方程

称为椭圆常用的参数方程，点是椭圆的中心，参数是半径为a的圆(称为椭圆的辅助圆)与点对应的半径GP与x轴正向的交角，中心在原点的参数方程为。

推导过程

由椭圆的标准方程改写可得

若令，则得，由于在时本身有正有负，所以可以通过适当选取所在象限，使符号省略，故有，于是得到，即椭圆的一种参数方程。

极坐标方程

相对于中心的极坐标形式

相对于中心的椭圆极坐标：

推导过程

由椭圆的标准方程可得：，以椭圆中心为原点，AB所在直线为x轴，过点C垂直于AB直线为y轴构造直角坐标系xOy

观察图4-3-1由极坐标与直角坐标的关系

易得：，带入至标准方程可得

提取得,此方程表示椭圆的轨迹。

相对于焦点的极坐标形式

相对于焦点的椭圆极坐标：

推导过程

如图 4-3-2，以椭圆的左焦点为极点，向右为极轴的正方向，设到左准线的距离为，椭圆的离心率为，设椭圆上任意一点的极坐标为,则，作于点，则,由椭圆的定义可知，，即,解得

几何性质

主轴

如图5-1中，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半周长。

范围

观察图5-1，易得椭圆上点的横坐标范围为，纵坐标范围为。如下，利用方程方法研究其范围。

由方程可知

所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式,即;

同理有,即;

可得横纵坐标的范围分别为：、。

对称性

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

在椭圆中以代，方程并不改变，这说明当点 在椭圆上时，它关于轴的对称点也在圆上，所以圆关于 轴对称;同理以代，方程也不改变，所以椭圆关于轴对称;以代，以代，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称。

综上，椭圆关于轴、轴都是对称的，这里，坐标轴是圆的对称轴，原点是圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

顶点

圆与对称轴的交点为圆的顶点(a,0)、B(0,6)、B(0,-b),线段分别叫做椭圆的长轴、短轴,长分别为

离心率

楠圆的焦距与长轴长的比为椭圆的离心率,,越接近于1，则椭圆越扁，反之， 越接近于0，椭圆越接近于圆。

从图 7-3-1可以看到,压缩系数的值愈小,也就是c的值愈接近于a时，椭圆就愈扁平。一般我们用的焦距和长轴的比来表示椭圆的扁平程度,并且把这个比叫做椭圆的离心率,用e来表示,就是

由于c

因为

当时,椭圆就愈扁平；

当时，,椭圆愈近于圆；

当时,，椭圆就变成了圆,这时,两个焦点就重合，所以圆是两个焦点重合的椭圆，故我们就把圆看作椭圆的一种特殊情况。

焦半径

椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径，当焦点在轴上时，任一点到左焦点的焦半径 ，到右焦点的焦半径

曲率半径

椭圆和圆不同,其各点的曲率不同，曲率半径不是常量，在这里我们用 来表示圆上点 的曲率半径。曲率半径在光路计算中有重要用途，有以下计算公式

式中为焦点半径，为焦点参数，为点的焦点半径与切线的夹角。

综上所述，椭圆的长轴在轴上,它的长是 ，短轴在 轴上,它的长是 ,焦点是 和,中心在原点,离心率<1,其中。椭圆是关于长轴、短轴和中心对称的图形。

同理可以知道，椭圆的长轴在 轴上,它的长是 ,短轴在轴上，它的长是,焦点是和 中心在原点,离心率<1，其中。

一般地说，二次方程,如果，A、B、C的符号相同，可得到且有

所以这个方程可以化成椭圆的标准方程的形式：如果，则椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上；，则椭圆的长轴在轴长，短轴在轴上；，则轨迹是个圆。

光学性质

经过椭圆上某点M的切线与焦半径FM，F’M构成等角，且在 之外通过，这个几何性质的物理意义是:从椭圆的一个焦点F发出的光线或声波经过绕长轴旋转所得的椭圆面反射后，都通过另一焦点F‘，这就是椭圆的光学性质，也是“焦点”命名的依据。

推导过程

不通过锥面顶点的圆锥曲线（如图6-1），可以看作圆在截平面上的射影（射影直线重合与母线）。椭圆平面和锥面沿母线的切面交直线(图如6-1）。这条直线是圆的切线的射影，而叫做椭圆的切线。

要证明，在点M的焦半径与切线作成等角。

事实上，一方面，二平面与“上面的”球面切于点和;因此按照定理(a)：如果和是交于直线C并与球面切线于A，B两点的二平面，则直线C上任意一点至A，B作的二切线段，与直线C做成等角。（如图6-2）

得；（1）

另一方面，这二平面与“下面的”球面切于点和;

再次应用定理（a）可得：；（2）

（1）和（2）二式等号右边的二角由于是对顶角，相等，所以等号左边的二角相等，即，得证。

将以上结果联系著名的光学上的镜面反射定律，导出如下推论：从一个焦点发出的光线，经椭圆镜面反射后，都通过另一焦点。（如图6-3）

相关公式

切线方程推导过程

设Q是在椭圆上与点邻近的一个点（如图7-5），它的坐标为这里表示很小的改变量（因为在曲线上与点可以任意靠近，所以这两个点的横坐标与纵坐标之差是一个很小的改变量）。连结，那么割线的斜率为,根据曲线的切线定义，当沿着椭圆移动，无限趋近于点P时，线的极限位置就是切线。因而割线的斜率的极限，就是切线的斜率(如果的斜率存在的话)。

设切线PT的斜率为，那么

因为两点都在圆上，所以

两式相减，化简，得

因为椭圆是连续曲线，所以当趋近于时，因此当时,

这就是切线的斜率。当即为椭圆的顶点时，切线平行于轴，没有斜率。所以，过点的切线的方程是

即

两边同时除以，得

因为

所以。

椭圆画法

拉线法

已知椭圆的焦点F，F’和长轴长2a。在点F，F’处钉上钉子，用一根细线结成长为2a+|FF’|的圆圈，套在钉子上，并用一根笔尖P拉紧，则笔尖P在平面上移动所画的曲线即为椭圆。

定义法

已知椭圆的长轴A’A和短轴B‘B互相垂直平分于O，以B为圆心,半长轴 OA 为半径作圆弧交 AA’于 F，F’(焦点)。在 A’A上任取一点 M,分别以 F,F为圆心，以AM，A'M为半径画弧交于 PP两点变M的位置，同样画出 P和 PP和 P等点把各点连结成光滑的曲线就得到所要画的椭圆给定圆两焦点F和F的位置以及长轴 2a，述画法相当于画出以 F和 F为圆心的两族同心圆两族圆中径之和等于 2a 的圆的交点都是圆上的点用光滑曲线将这些交点连结起来即得椭圆。

辅助圆法

以椭圆的长轴A’A和短轴B'B为直径分别作椭圆的大小辅助圆O（如下图），作涉嫌OM和大、小辅助圆分别相交于M和N，作MQOA，做NP//OA，交MQ于P，则P是椭圆上的点，取不同的可以得出椭圆上相对应的不同的点,把这些点用光滑的曲线连接起来，就形成了一个椭圆。

椭圆旋转

平面E绕着它上面的一个圆周的中心的旋转，是把这个圆周平面变成自己的平面E的仿射变换。它所诱发的平面E的变换叫做椭圆旋转。

椭圆的旋转是一种平面仿射变换，即将椭圆绕其中心旋转的平面仿射变换。在平面直角坐标系中，椭圆旋转的计算公式为：；。

几何关系

点与椭圆

椭圆标准方程为：，观察图10-1易得：

点在圆内：

点在圆上:

点在圆外:

直线与椭圆

直线与椭圆方程分别为

消去得

如果，则方程（3）的判别式为，那么

椭圆应用

物理应用

人造星体轨道

在地面上发射一个物体，如果发射速度过小，由于地球引力作用，这个物体就会被吸引回到地上，只有当发射速度等于或超过公里/秒时，物体才会保持在空中不回到地面，这个速度叫做环绕地球速度，也叫第一宇宙速度。 公里/秒，叫做脱离地球速度，也叫做第二宇宙速度。

当时，则,发射体的轨道是一个椭圆，随着的增大，轨道越来越扁平，长轴约拉越长，但发射体仍然绕地球运行，称为人造卫星。当=16.7公里/秒时，轨道是一个椭圆，发射体称为一个人造行星，当时，发射体飞出太阳系，所以叫做脱离太阳系的速度，也叫做第三宇宙速度。

椭球镜面

根据椭圆法线的性质：经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。因此如果把光源放在椭球镜面的一个焦点处，那么经过反射，都集中到另一个焦点上(如图 11-2-1)。

许多光灯泡是椭球形就是根据这个性质设计的，如下面要介绍的一种电影放映机的聚光灯泡。它的构造如图11-2-2所示椭圆弧绕轴旋转成椭球面，以为焦点; 圆弧和旋转成一球带。以为球心，为直径，这两曲面组成反射面，表示透明的光窗，灯丝在处，片门装在与另一焦点间紧靠于的处，这样从灯丝发出的光、或经椭球面反射后集中于。所以灯丝发出的光，除射到光窗和头处以外，全部透过片门集中到 ，再经放射镜头，将影片上的画面放大并投射到银幕上。

片门如放在处，本来可以得到最多的光照射其上，但处光线集中，照在影片上，难免中间特别明亮丽周围较暗。将使银幕上的画面出现照度不均匀的现象。因此片门从移后一些。

这种灯泡的优点是体积小，且减少了光源后面的反光镜和光源与片门间的聚光透镜组，使放映机结构简单，体积较小，便于移动，但更主要的是光源发出的光能够充分地被利用。

冲击波排石

泌尿系统结石是泌尿外科常见的疾病，可引起肾绞痛、泌尿系感染及肾功能不全，给病人造成极大痛苦。据医学知识，如果结石小于0.4公分，有八成机率会自动排出体外，介于0.4到0公分时，有一半自然排出机会，一旦大于1.6公分，结石很难自行排出体外。自20 世纪80 年代以来，逐渐普及体外冲击波碎石法，比药物排石和手术取石有独特优势，是目前泌尿结石的首选治疗方法。

如图11-3-1，是体外冲击波碎石机原理示意图，1980 年2月2日，在德国慕尼黑首次使用于临床。这种碎石机的冲击波源，是在一个半椭球形金属反射体的一个焦点处安置的电极，反射体内充满水。当高压电在水中放电时，在电极极尖处产生高温、高压，因液电效应而形成高频超声波。这种冲击波向四周传播，遇椭球光滑表面反射而会聚于第二焦点处。当人体结石经 B超定位而处于第二焦点时，结石在冲击波的多次拉应力和压应力的联合作用下粉碎，然后自然排出体外。这种体外冲击波砾石适用于肾、膀胱、输尿管结石的治疗，它无需病人住院，无手术创伤，无痛苦，完成治疗省时，而且费用低。

激光消痣

如图11-3-2，是英国剑桥大学于 70 年代发明的一种医用激光消痣器，它可用于人体美容，治疗人体皮肤的各种色素斑、鲜红斑痣、黑痣等。这种激光消痣器的消痣头，是一个半椭球形有机玻璃固体，激光束位于椭球的一个焦点处。激光经椭球壁反射后聚焦射向痣区，瞬间完成去痣操作，同时保护正常皮肤，大大提高美容效果。

建筑应用

意大利威尼斯共和国水城和北京颐和园椭圆拱桥

还有的拱桥主跨是椭圆形。如在16世纪欧洲就盛行建造圆拱桥，到意大利威尼斯水城，就见一座座椭圆石拱桥在水面上成半月状，与水城建筑风格相映成趣。

如图11-4-1，是建于我国清代乾隆(1736-1795 年)的北京顾和园树圆拱形玉带桥。这桥拱高耸，桥拱与水中倒影恰成一长轴竖直的椭圆，配以柔曲桥面及汉白玉桥体和精美石雕，放在山水绿柳中，美景独特。在天津南开大学内有一座便桥，其桥拱是一个长轴水平方向的半椭圆。又如 2006 年初建成的江苏无锡长广溪大桥，是无锡正规划、开发建设有50万人口的滨湖新城的景观大桥。它是6跨圆拱结构，全长224米，椭圆拱横放并列建筑，抗压强度好，排洪泄涝能力大。该桥的六椭圆联拱仿欧洲风情造型和整座桥精致华丽的建筑，成为无锡最漂亮的桥梁。

椭球形“上海科技城”与“南京青少年科技活动

近 10 年来，我国的薄壳结构建筑也得到迅速发展。如图11-4-2，是 2005年8月在上海浦东建造的“上海科技城”，其壮观的椭圆形球体，长、短轴分别为67米、51米。如图11-4-3，是 2005 年10月在南京雨花台区建造的“南京青少年科技活动中心”的主体科技馆，呈椭球体，面积3万平方米。该科技馆外形奇特像鲸目、像潜水艇，它的设计原型是法国著名科幻小说家儒勒·凡尔纳科幻小说《海底两万里》中那艘探寻科学奥秘的魔船。这个“南京青少年利技活动中心”已成为一流的现代科技公园。

统计与金融应用

在统计学中，二元随机向量 如果它的等密度轮廓（密度函数的相等值的轨迹）是椭圆，则它是联合椭圆分布的。该概念扩展到随机向量的任意数量的元素，在这种情况下，等密度轮廓通常是椭球体。一个特例是多元正态分布。椭圆分布在金融中很重要，因为如果资产回报率联合椭圆分布，那么所有投资组合都可以完全由其均值和方差来表征，也就是说，任何两个具有相同投资组合回报均值和方差的投资组合都具有相同的投资组合分布返回。