抛物线（英文名：Parabola），指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹，它的开口方向分为上、下、左、右四种。抛物线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，可以看成二次函数图像，抛物线可由方程表示，其中是正实数。抛物线具有单一的对称轴，对称轴与抛物线的交点称为顶点。
抛物线最早由古希腊数学家梅内柯缪斯通过截取直角圆锥曲面得到，后经阿波罗尼斯将三种圆锥曲线统一到同一圆锥截面中，并将直角圆锥曲线命名为齐曲线。意大利科学家伽利略·伽利莱发现抛射体运动轨迹与该曲线特征相符，由此产生“抛物线”的名称。
抛物线在几何光学、力学及生活中有重要的应用，生活中用到比较多的是开口向下的抛物线。光学领域中，常见的探照灯应用到了抛物线的原理。
相关定义
轨迹定义
抛物线是一种平面曲线，是由平面上到定点的距离与定直线的距离相等的点组成的图形。选取平面直角坐标系，使原点在焦点到准线的垂线段的中心点，该垂线段在轴上，则抛物线可由方程确定，其中是正实数。这时，该抛物线的焦点的坐标是，准线方程是，焦点到准线的距离是。
截面定义
由圆锥表面和平行于锥体母线的平面的交点形成的截面曲线，称为抛物线。该定义方式为古希腊时期阿波罗尼斯等人研究圆锥曲线的描述。
发展历程
圆锥曲线的研究历程
圆锥曲线的研究最开始是为解决三大几何作图问题之一——“倍立方问题”而引起的。公元前460年前后，希波克拉底（Hippocrates of Chios）指出倍立方问题可以归结为求线段与之间的两个等比中项，这是因为，若设其中比例中项为，则有，可得：，于是有，以及或，如果是已知立方体的边长，那么便是所求立方体的边长。根据欧托基奥斯（约公元480）的记载，门奈赫莫斯（约公元前4世纪中叶）曾用两种方法：(i)找出曲线和的交点；(ii)找出曲线和的交点。找出其两个段落之间的两个等比中项，他发现了圆锥曲线，解决了“倍立方问题”问题。
到公元前4世纪末，已有两本涉及圆锥曲线的著论，它们分别是阿里斯泰奥斯的五卷本《立体轨迹》（Solid Loci）和欧几里得的四卷本《圆锥曲线论》，这两本著作已失传，而阿基米德有关圆锥截图的研究却保留了下来，阿基米德在他的《劈锥曲面体与旋转椭圆体》中证明任一椭圆都可看作一个圆锥的截线，该圆锥不一定是直圆锥，其顶点的选择有很大的任意性。阿波罗尼斯是第一个根据同一个（直的或斜的）圆锥被各种位置的截面所截来研究圆锥曲线系统理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人，他在前人的基础上把圆锥截线研究得既全面又深入。阿波罗尼斯从一个一般圆锥面（斜的或直的）上用平面截得三种曲线，他称其为齐曲线（抛物线 parabola）、超曲线（双曲线的一支）和亏曲线（椭圆 ellipse）；同时在对顶的两个圆锥面上截得两个曲线（即两个超曲线）称为二相对截线（双曲线 hyperbola），他们分别就是抛物线、双曲线的一支、椭圆和双曲线。
他将其研究著成八册《圆锥曲线论》，目前完整保存的Ⅰ-Ⅶ卷就有圆锥曲线相关命题387个，如此深奥的内容却完全是用文字表达的（没有使用符号和公式），作为综合几何最高水平的《圆锥曲线论》是世界数学史上的一座丰碑，他的数学内容、数学思想在人类文化史上占有一定的地位。圆锥曲线自阿波罗尼斯后，他的研究没有本质的突破，直到两门数学分支的兴起，一个是以勒内·笛卡尔为代表的“解析几何”，另一个是以帕斯卡赌注、吉拉德·笛沙格为代表的‘‘射影”，这两门学科的到来，为圆锥曲线提供了新的研究方法，打开了新的研究思路。同时，随着物理天文学的发现和微积分的创立，圆锥曲线作为一个重要研究对象参与到这些学科当中，为这些学科的研究提供新的思路和方法。
抛物线的发展历程
抛物线最早是由古希腊数学家梅内柯缪斯通过截取直角圆锥曲面得到的，定义为直角圆锥曲线，后由古希腊数学家阿波罗尼斯将三种圆锥曲线统一到截取一个圆锥上，并将直角圆锥曲线定义为齐曲线。之后意大利科学家伽利略·伽利莱发现，抛掷物体的运动轨迹恰好符合齐曲线，这就是抛物线名称的由来。
基本元素与术语
以抛物线标准方程进行说明：
焦点：定点，坐标为。
准线：定直线，直线方程为，焦点到准线的距离为。
范围：因为中，所有动点的横坐标永远大于等于0，且当增大时，也增大，所以该抛物线开口向右，且不断地向上和右下方延伸。
对称轴：垂直于准线并通过焦点的线，直线方程为，也称为抛物线的轴。
顶点：抛物线与其对称轴的交点叫做顶点，在方程中，当时，，说明坐标原点是抛物线的顶点。
焦距：抛物线的焦点与顶点的距离称为抛物线的焦距，通常用表示，长度为，即。
离心率矢量：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示，由抛物线的定义可知，。
焦点弦：经过抛物线焦点的弦称为焦点弦。
焦半径公式：连接抛物线上一点与焦点的线段叫做点的焦点半径，长度用公式表示为。
主要直径：连接顶点和焦点的直线称为主要直径，抛物线唯一主直径为轴。
通径（正焦弦）：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两交点的线段，长度为。
法线：在曲线上任一点所在垂直于该点处切线的直线叫做法线。
抛物线方程
直角坐标系中的抛物线方程
一般方程
抛物线的一般方程：
抛物线的参数方程
设，则从知2，即2，是是抛物线的参数方程，设切点为，则于处的切线方程可写为。
极坐标下的抛物线方程
圆锥曲线的极坐标方程为：，
当时，上述方程表示开口向右的抛物线方程。
相关概念
点与抛物线的关系
点在抛物线的上的充要条件是；
点在抛物线的内部的充要条件是；
点在抛物线的外部的充要条件是。
直线与抛物线的关系
直线与圆锥曲线的位置关系即直线与圆锥曲线有无公共点的问题。对于这个问题，可通过直线与圆锥曲线的方程组成的二元二次方程组的实数解的情况进行研究来探究。若方程消元法后得到一个一元二次方程，根据判别式来讨论，若方程组消元后得到一个一元一次方程，则直线与圆锥曲线相交于一个公共点。
相切
二次曲线的切线定义：如果直线与二次曲线有两个重合的交点或者在上，则称是的切线，称与的交点为切点。若是抛物线，有一点
抛物线切线相关性质
抛物线切线相关性质繁多，以下列举几条常见命题：
抛物线切线的尺规作图
过抛物线外一点作抛物线的两条切线，
抛物线弦的相关定值
命题一：过抛物线焦点的一条直线和抛物线相交，交点坐标为，，则有，为定值。
命题二：设抛物线上两动点，满足(是常数)，则直线恒过定点。
命题三：设抛物线上两动点，满足(是常数)，则线段中点的轨迹方程为。
命题四：抛物线的焦点弦对抛物线的顶点所张角被对称轴分成和两部分，则。
二次函数与抛物线
形如的函数称为二次函数，二次函数的图像是抛物线，其中系数的几何意义：决定抛物线的开口大小；的符号决定抛物线的开口方向（>0，开口向上，<0，开口向下），为抛物线的对称轴方程；为抛物线与轴交点的纵坐标（即抛物线的纵截距）。
过抛物线外一点作抛物线的两条切线，
抛物线弦定值
命题一：过抛物线焦点的一条直线和抛物线相交，交点坐标为，，则有，为定值。
命题二：设抛物线上两动点，满足(是常数)，则直线恒过定点。
命题三：设抛物线上两动点，满足(是常数)，则线段中点的轨迹方程为。
命题四：抛物线的焦点弦对抛物线的顶点所张角被对称轴分成和两部分，则。
二次函数与抛物线
形如的函数称为二次函数，二次函数的图像是抛物线，其中系数的几何意义：决定抛物线的开口大小；的符号决定抛物线的开口方向（>0，开口向上，<0，开口向下），为抛物线的对称轴方程；为抛物线与轴交点的纵坐标（即抛物线的纵截距）。
应用范围
建筑学
抛物线在生活中的应用最经典的莫过于桥梁，赵州桥正是抛物线的设计。1400年间经历10次水灾和多次地震，赵州桥仍能巍然屹立。
光学应用
从抛物线的交点发出的光线照射到抛物线上，经过翻折后的光线都平行于抛物线的轴。手电筒就是利用这个原理设计的。
常见的探照灯也应用到了抛物线的原理，探照灯的反光镜呈抛物面。抛物面的焦点就在该抛物面，也就是抛物线的轴上，过焦点的任何一条直线经过反射后，都会变得与轴平行。探照灯是抛物线原理的创新应用。
应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理，设计了一种加热水和事物的太阳灶，在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。
声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
弧形海湾稳定性分析
沙质海岸作为全世界最重要的海岸类型之一，分布广泛，国内外学者对弧形海岸的形态变化和河弯冲淤做了大量研究，提出多种设计弧形海岸稳定的模型，抛物线模型为其中之一。专家利用抛物线模型和可视化软件MEPBAY分析弧形海湾的稳定性问题，为海湾利用开发、海岸防护和港口工程提供一定的理论依据。
Hsu和Evans通过对27个处于静态平衡的海湾和实验模型海湾的模拟得出的抛物线模型如下：
式中：为海滩上任意一点到极点的极半径；为上下两角的距离（即控制线长度）；为单射波峰线和控制线的夹角；为极半径与波峰线的夹角；为的函数，由27个海滩和实验室数据经回归分析所得，表述如下：