在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右和向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做横轴，竖直的数轴叫做纵轴，横轴和纵轴统称为坐标轴，它们的公共原点称为直角坐标系的原点。
在公元前四世纪，中国战国时代的石申就在其著作《石氏星经》中利用坐标思想记录恒星位置，古希腊的阿波罗尼斯也曾运用坐标方法研究圆锥曲线。到了十七世纪，勒内·笛卡尔受奥尔斯姆经纬度理论的启发正式研究平面坐标，并提出用方程表示曲线的思想；与笛卡尔处于同一时期的皮耶·德·费玛则从方程出发，研究其描述的曲线。笛卡尔和费马分别代表了解析几何研究的两个相反的方面。之后经约翰·沃利斯、戈特弗里德·莱布尼茨等人的补充，平面直角坐标系理论不断完善。
平面直角坐标系的构造方法有网格法和向量法。建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两个坐标轴将坐标平面分成四个象限，坐标平面上的点与有序数对一一对应。平面直角坐标系可向三维推广成空间直角坐标系。平面中还可以建立极坐标系、仿射坐标系等，不同的坐标系上的点可以相互转化。
坐标系的建立为数学研究带来了数形结合方法，为微积分的诞生奠定基础，是现代数学研究的重要工具。应用方面，平面直角坐标系可以用于确定位置、几何图形研究变换及物理学研究等。
定义
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右和向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做轴或横轴，竖直的数轴叫做轴或纵轴，横轴和纵轴统称为坐标轴，它们的公共原点称为直角坐标系的原点。该坐标系可记为坐标系。
点与坐标的对应关系
建立平面直角坐标系后，平面上任意一点的位置就可以确定。如图所示，对于平面上任意一点P，过点分别向轴，轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对就叫做点的坐标。
反过来，如果有一对有序数对，可以在轴上找到坐标为的点，在轴上找到坐标为的点，然后由和分别向轴和轴作垂线，两条垂线有唯一的交点，这个交点的坐标就是，这说明任意一对有序实数可以确定平面上的一个点。
坐标取向
平面上的坐标按轴在轴上选取的方向可以分为两大类：把正轴绕原点旋转一个坐标角而与正轴重合，如果旋转方向是逆时针的，就叫做右手系；否则就叫做左手系。一般默认坐标系为右手系。
也可用手指形态记忆坐标系取向。右手系取向是将一只半握拳的右手掌心放在平面上，大拇指向上指，其它的手指从轴指向轴。左手系取向则是将一只半握拳的左手掌心放在平面上，大拇指向上指，其它的手指从轴指向轴。不论坐标轴是何种取向，将整个坐标系做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。
相关历史
萌芽时期
在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支，他们基本上都是研究一些不变的量（常量），不过前者侧重于空间形式而后者侧重于数量关系。在方法上，他们也基本互不相关，尤其是古希腊的论证几何中甚至排斥代数方法的应用。
用坐标系来确定点的位置的方法最早可追溯到公元前四世纪，中国战国时代的的石申利用坐标思想记录了一百多颗恒星的位置，著成世界上最早的星表——《石氏星经》。公元前三世纪末，古希腊的阿波罗尼斯（Apollonius，(P)）也曾用两条相互垂直的直线作为研究圆锥曲线的基准，他的《圆锥曲线论》是最早的一部关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。
14世纪，奥尔斯姆（Oresme，N.）的著作中已有关于经纬度和函数图形表示的萌芽，他用数组表示点的位置，用图线表示因变量与自变量的关系。
逐渐成熟
法国数学家、利奥六世勒内·笛卡尔(R.Descartes，1596~1650)受到奥尔斯姆思想的影响，从古代的天文和经纬度研究中得到启发，于1637年在《几何》及《折光》中正式发表了关于变量思想和平面坐标的研究。他引入“坐标”的概念，利用坐标方法，提出了用方程表示曲线的思想。于是几何问题转化为代数问题，通过代数运算，许多难度较大的问题的解法得到简化。
皮耶·德·费玛(P.deFermat，1601~1665)与笛卡尔处于同一历史时期，他也独立地发现了用代数方程表示曲线的方法，但是其方法直到1679年才正式出版在《平面和立体的轨迹》一书中，在书中费马清晰地解释了解析几何的基本原理。
皮耶·德·费玛与勒内·笛卡尔建立坐标系的出发点不同。勒内·笛卡尔从几何曲线开始，以代数公式（方程）告终；皮耶·德·费玛则从代数公式开始，然后描述它的几何曲线。这正是解析几何研究的两个相反的方面。
正式诞生
平面直角坐标系的建立是不断完善的过程。勒内·笛卡尔和费马建立坐标系时都只用了横轴，未使用纵轴，而且所使用的纵坐标是斜的，横坐标和纵坐标都局限于正数范围。1655年，英国数学家约翰·沃利斯(J.wa1lis，1616～1703)对坐标系作了进一步探索，有意识地引进了负的横、纵坐标。这使得解析几何所考虑的曲线范围扩展到了整个平面。1692年，戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出坐标、横坐标、纵坐标等术语使坐标系理论更加完善。
坐标系的建立为艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨发明微积分奠定基础。后人把用二维坐标描述平面的方法扩展成了向量空间的概念。在平面直角坐标系之后，人们又创造了更多的坐标系，如平面的极坐标系，以及三维空间的球坐标系和圆柱坐标系等。
构造方法
建立坐标系后必须使每一个点的坐标是唯一的，不同的坐标表示不同的点。因此，能使点与有序数组（或数）唯一对应便可构成坐标系，通常可用网格法与向量法构造坐标系。网格法多用于几何空间。向量法多用于将坐标系推广到抽象的维空间。两种方法均可构成平面和空间直角坐标系等坐标系。
网格法
如在平面直角坐标系中与为任意实数时，分别表示相互垂直的两簇直线构成密布整个平面的网，平面上任意一点均是与为某实数所代表的两条直线的交点，使得二元有序数组与平面上的点唯一对应，称为平面上点的坐标。该种坐标系构成方法称为网格法。
向量法
在平面上取一定点（为原点），以点为起点取两个不共线的向量和，则平面上任意一个向量都存在唯一确定的有序数组，使得。同样，把平面上任意向量的起点均确定在点，那么可以确定向量终点的位置，所以称为向量的终点坐标，也称向量的坐标。如果向量，为相互垂直的单位向量，则建立平面上的正交系，也即平面直角坐标系。只需把用表示，终点坐标便与平面直角坐标系的坐标表示一致。该种方法也可以构造仿射坐标系。
坐标性质
象限与象限角
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两坐标轴把坐标平面分成四个部分，每个部分叫做一个象限，分别用罗马数字按照逆时针方向，从象限编到象限编号。它们的顺序按其点的坐标的符号规定如下：
第象限：
第象限：
第象限：
第象限：
需要注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限。
两坐标轴的位于各象限的夹角，叫做所在象限的象限角。特别的，两坐标轴正向间的夹角叫做坐标角。
坐标特征
1、坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2、一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3、二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4、一点上下平移，横坐标不变，即平行于轴的直线上的点横坐标相同。同理左右平移时纵坐标不变。
5、轴上的点，横坐标都为0。
6、轴上的点，纵坐标都为0。
7、与轴做轴对称变换时，（横坐标）不变，（纵坐标）变为相反数。
8、与轴做轴对称变换时，（纵坐标）不变，（横坐标）变为相反数。
9、与原点做轴对称变换时，（纵坐标）与（横坐标）都变为相反数。
推广
平面直角坐标系是二维空间（平面）中的坐标系，根据定义可知其是由一维空间上的数轴（直线坐标系）推广而来的。平面直角坐标系也可以推广至三维空间甚至高维空间 (higher dimension)，得到空间直角坐标系。
数轴（一维直线坐标系）
在直线上规定一个方向作为正方向，这条直线就成为一个轴。当选定测量长度的单位后，轴上的有向线段就可以用数来表示。任意取定一点（拉丁文中Oriyo（原点）第一个字母）作为度量起点的原点，并任意选择一条线段作为单位长度。那么直线上的每个点都可以由有向线段的数量来表示，反之每个实数就可以由轴上数量为的有向线段的终点来表示。
这样一来，在全体实数和直线上全体点之间建立了唯一对应的关系。可知数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。因此数轴可以看作直线上的坐标系。
空间（三维）直角坐标系
定义
在原本的二维直角坐标系基础上再添加一个垂直于轴，轴的坐标轴，称为轴。轴与轴，轴相互正交于原点，坐标系就推广到三维空间，称为空间（三维）直角坐标系。
卦限
空间直角坐标系的三个平面（平面、平面、平面）将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant)。通常只有第一卦限有明确的编号，其余卦限的顺序都可能因习惯而不同。第一卦限中每一个点的三个坐标都是正值。
点的坐标
在三维空间中的任何一点，可以用直角坐标来表达其位置。如在标准三维直角坐标系中，任意一点在轴上的投影分别为点，点坐标可表示为。
坐标取向
在三维空间里，在设定完成轴、轴的位置与方向同时，需要注意轴正方向的选取，于是得到两种选取结果的坐标系。这两种不同的坐标系，称为右手坐标系与左手坐标系。
右手坐标系的名字由右手定则而来。先将右手的手掌与手指伸直，然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的轴、轴与轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。
相关坐标系
坐标系建立的目的是确定目标区域内点的坐标，可以有多种建立方法。常见的坐标系还有极坐标系、仿射（斜角）坐标系等。极坐标系与平面直角坐标系均为平面上的坐标系，两坐标系中同一点的坐标相互对应且可以相互转化；仿射坐标系的坐标轴不相互垂直，当坐标轴相互垂直时，仿射坐标系就变成了直角坐标系。
极坐标系
定义
在平面上取一定点，从点出发作一条射线，选定单位长度，就建立了极坐标系。称点为极点，称轴为极轴。在平面上任取一点，点到极点的距离称为极径，轴逆时针旋转到方向的角度称为极角。可以用有序实数对来定义点的极坐标，记为，这里（或）。表示极点，其极角可以取任意值。
与直角坐标的转化
由极坐标系定义可知，平面上除极点外（极点对应原点，但极点坐标中的极角有无数个），任一点的直角坐标与极坐标唯一对应，它们的关系是
极坐标常用来描述圆等曲线，在处理某些问题如几何轨迹问题时较为方便。
仿射（斜角）坐标系
在平面上任取一点及两个不共线的向量，（不一定是单位向量，且与不一定是垂直的），这样就建立了平面上的仿射坐标系。仿射坐标系也叫斜角坐标系，当向量和垂直时，即变成直角坐标系。
对于平面上任一点，则向量也可唯一表示
数组称为点关于仿射坐标系的仿射坐标。
相关方法和思想
坐标系法
平面直角坐标系使平面上点的集合与有序实数对（坐标）的集合之间建立了唯一对应的关系
这就是平面上坐标系法的基本原理。坐标系法可以利用代数方法求解几何问题，如求解平面中两点间距离和中点坐标等。
两点间距离公式
应用勾股定理，得平面直角坐标为和的两个点之间的欧几里得距离：
这是毕达哥拉斯定理的勒内·笛卡尔坐标版本。如果推广到三维直角坐标空间中，点和之间的距离为：
,
该公式可用毕达哥拉斯定理的两次连贯应用得到。
中点坐标公式
如图，在平面直角坐标中，两点、连线的中点坐标为。
数形结合思想
在平面上建立坐标系后，根据点与坐标一一对应的关系可以将平面上关于点的几何问题转化为关于这些点的坐标的代数问题来研究，并通过代数转换来发现、证明几何性质。反过来也可以采用几何的术语来描述有关数的代数问题。由此产生了数形结合思想。
利用数形结合思想可以求解方程组，并可以直观看出解的数量及分布。如在下图平面直角坐标系中，若要求解方程组
首先可以把方程组中的两个二元一次方程方程都化为函数的形式，再画出函数图象，从而得到交点坐标。反之 ，求两个函数图象的交点可以联立他们的方程，再通过代数运算求解。
微积分思想
坐标系和解析几何方法的出现为微积分的创立奠定了基础，而微积分又成为现代数学的重要基石。现在解析几何仍然是重要的数学方法之一。
已知一个函数时，若要求其在点的切线的斜率（导数），只需找到点，让无限接近于即可。如下图平面直角坐标系中，连接和的线的斜率是，则趋于极限的情况是，数值就称为函数在处的导数。
应用
确定位置
利用坐标思想可以确定空间或平面内任意一点的位置。如我国古代确定天体位置的《石氏星经》，用经纬度确定地球某点位置等。一般的，地球上的经线与纬线构成覆盖整个球面的网，除南北极点外，球面上的点均是某条经线与某条纬线的交点。因此，可用经度与纬度确定球面上某点的位置。这种方法为人类出行及认识世界提供了便利。
在自然界中，快速移动的昆虫不仅可以在运动中不断地更新它们对方向和距离的记忆，同时能够将这些记忆保存数天时间。科学家通过冷冻实验对昆虫记忆方位的能力进行研究，他们从某一位置取走蚂蚁并将其冷冻一段时间以消除神经记忆，之后将该蚂蚁放回一个陌生的环境中。实验发现，蚂蚁会像没有被移动位置那样径直向它们巢穴的所在跑去。也就是说，它们会与往常的路径平行移动，一旦走到了预期的距离，就会开始寻找巢穴的入口。科学家还发现被冷冻后的蚂蚁会朝着预期的方向移动，却不记得应该走的距离。也就是说，它们会过早地开始寻找巢穴的入口。于是得出结论，蚂蚁可能利用了坐标系的方法来记忆自身的方位。蚂蚁以坐标的形式记住了巢穴的位置，当蚂蚁被人为平移一段距离后，其记忆的“巢穴”随之平移了相同距离。
几何应用
描述几何图形
平面直角坐标系的应用之一是可以用方程确定平面上的曲线。曲线都可以看成是适合某种条件的点的轨迹，当然它也是点的集合。例如到线段两端距离相等的点的集合，是这条线段的垂直平分线；到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆等。
在平面直角坐标系上，点的位置由它的坐标完全确定，点的位置变动时，它的坐标也随之变动。当点按照某种条件而变动位置时，这种条件反映了轨迹上各点的共同性质，具体表现为轨迹上点对应的坐标和之间的某种关系，即坐标和所满足的方程。可以说，方程是点的运动规律的代数表示。这样，曲线和方程就建立了对应关系。
如图，红色的圆，半径是2，圆心位于直角坐标系的原点。此圆的方程为。
图形坐标变换
几何学中，平面直角坐标系可以应用于图形的坐标变换，如表示欧几里得变换。欧几里得变换或欧几里得移动是欧几里得平面的点集到同一平面上点集的（双射）映射，它保持诸点之间的距离。这种映射（也叫等距映射）有四种类型：平移、旋转、反射和滑移反射。
物理研究
在物理学中，平面直角坐标系常用于描述物体的运动。如在力学研究中，质点受力运动后会产生运动轨迹，表示质点运动轨迹的方程称为轨迹方程。建立坐标系可以用于描述质点运动的位移、运动及轨迹方程等，选择不同的参考系建立坐标系会得到不同的坐标和轨迹方程。例如，在太阳参考系中，地球的运动轨迹是一个椭圆，以太阳为坐标原点建立直角坐标系，即可求得地球运动的轨迹方程。
术语在线.术语在线.2023-12-15
几何之解析几何.华北水利水电大学.2023-12-01