解析几何（Analytic Geometry），又被称作坐标几何或卡式几何，早先被叫做笛卡尔几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其要旨是把几何问题归结为代数问题，借助坐标系用代数学的方法进行计算和证明，从而解决几何问题。
1637年，勒内·笛卡尔在著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》的附录《几何学》中提出了解析几何的基本方法。解析几何的原意，即经典解析方法，是用解析几何研究几何做图并根据方程讨论一些几何性质。一直到十八世纪末，解析几何才成为普遍使用的名词。解析几何最早是用代数的方法来解析的，因此代数学也被看成是数学分析的一支。 对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者复）流形，或者更广义地通过一些复变量（或实变量）的解析函数为零而定义的解析空间理论。
解析几何有一些基本概念，如向量，坐标，图形的方程等。研究解析几何时会采用许多方法，如坐标表示法，坐标变换等，它们将数与形结合起来，使几何问题代数化。解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具。 它的发展为计算机的发展铺平了道路。现代解析几何的思想和方法也广泛应用于物理学、工程学、光学等领域。
发展历史
17 世纪早期，生产和科技的发展导致一系列重要事件发生，如德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略·伽利莱发现投掷物体试验着抛物线运动的。这使得人们发现，圆锥曲线不仅是依附在圆锥上的静态曲线，而且与自然界物体运动密切相关。这些发现都涉及圆锥曲线等复杂曲线的研究。当时，数学体系的核心是欧式几何。欧氏几何虽有严密的公理化逻辑体系，但仅局限于对直线和圆所组成图形的演绎，面对椭圆、抛物线这些新奇图形及它们的运动规律，欧氏几何力不从心。这些，促使人们去寻找解决问题的新的数学方法。
数学史上，法国数学家勒内·笛卡尔（法语：René Descartes）与皮耶·德·费玛（法语：Pierre de Fermat）被普遍认为是解析几何的共同创始人。1637年，笛卡儿发表了著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(简称《方法论》) ，这本书有三篇附录。笛卡尔对解析几何的贡献就在第三篇附录《几何学》中。在这篇附录中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。此外，皮埃尔·德·费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》(Ad locos planos et solidos isagoge) 虽然没能在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于勒内·笛卡尔的《方法论》。《平面与立体轨迹引论》从研究不定方程解的作图问题出发 ,也阐述了解析几何原理，为解析几何提供了铺垫。
费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。笛卡尔的中心思想是把算术、代数、几何统一起来，将一个数学问题化为代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对的对应关系。与的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。而在《平面和立体轨迹引论》中，皮耶·德·费玛解析地定义了许多新的曲线。勒内·笛卡尔从几何曲线开始，以代数公式（方程）告终；费马则从代数公式开始，然后来描述它的几何曲线。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。结果，笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。
1692年，坐标、横坐标、纵坐标等术语由戈特弗里德·莱布尼茨提出的。1733年，克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写成《无穷分析概要》，是符合现代意义的第一部解析几何学教程，这本书的特色包括：立体解析几何的系统研究，极坐标的使用，曲线参数表示法的引入等等。1788年，约瑟夫·拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，赫尔曼·格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号，于是多维解析几何出现了。
此外，解析几何的发展也和代数的进步息息相关。法国数学家韦达在十六世纪末期创立的符号代数学使代数学从过去以分析解决特殊问题、偏重于计算的一个数学分支，转变成一门研究一般类型和方法的学科，也使代数依赖于几何的地位开始逆转。这为由几何曲线建立代数方程并由代数方程来研究几何曲线铺平了道路。
解析几何为后来倒换代数和几何的地位铺平了道路。解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。解析几何最早是用代数的方法来解析的，因此代数学也被看成是数学分析的一支。作为经典解析几何推广的数学分支代数几何，已成为利用抽象代数的方法，对代数簇进行研究的一门学科。
代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。法国数学家塞尔（法语：Jean-Pierre Serre）在他的论文《代数几何与解析几何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)中阐述了现代解析几何和代数几何的关系。在这篇论文中，解析几何指复解析簇的几何。解析簇(analytic variety)定义为几个解析函数的共同解集。代数簇与解析簇的相似性也在论文中得到了证明。然而，这两个学科依然有其独特性，证明方式也十分不同，代数几何也包括几何的有限特征。对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者复）流形，或者更广义地通过一些复变数（或实变数）的解析函数为零而定义的解析空间理论。
基本思想和概念
基本思想
解析几何的基本思想有如下要点：
第二，建立坐标系后，空间中的向量有了向量的坐标表示，进而可以用数量计算讨论点及向量的共线关系。
第三，利用点或向量间的空间关系，曲线或曲面得以确定。从而建立起曲线或曲面与代数方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题。
基本概念
向量
既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。一个向量可以用一条有向线段来表示，用这条线段的长度来表示的大小（或长度），用起点到终点 的指向表示向量 的方向。
零向量是大小为零的向量，记作。零向量是唯一方向不确定的向量。
向量的加法
对向量,作有向线段表示，有向线段表示，把表示的向量称为和的和，记作（如下图）。
向量的加法适合下述规律：
向量的数量乘法
实数与向量的乘积是一个向量，长度为。对任意向量和实数，向量的数量乘法适合如下规律：
坐标
坐标系的实质是平面或空间中点到有序数组的对应关系。为此首先要建立一个参考系，即坐标标架。最常见的是笛卡尔坐标系，即直角坐标系。平面上两条互相垂直并且以交点为零点的两条数轴构成一个平面直角标架。平面内任何一点的坐标根据数轴上对应的点的坐标设定。在平面直角坐标系中，每个点都有坐标对应水平位置，坐标对应垂直位置。这样，平面上的点被记为有序对。笛卡尔坐标系也可以被用在三维几何当中，类似地，空间中的每个点被记为多元组。
此外，还有极坐标系等。在平面取定一条射线，就得到一个平面的极坐标系。其中每个点都以从原点出发的半径和到取定射线的角度表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。
图形与方程
当空间取定一个坐标系后，空间中的图像就可建立方程。通过方程，就可用代数方法来研究图形。对于一个图形，如果图形上的点的坐标满足某种数量关系而图形外的点不满足，就把这个数量关系称为这个图形的一个方程。例如在一个直角坐标系中，以点为球心，半径为2的球面的点的坐标满足方程式
，
而不在球面上的点都不满足这个方程。反过来，以为变量的方程式（组）决定一个图形。一个三元方程的解对应的坐标系的点的集合构成的图形被称作这个方程式（组）的图像。在三维空间直角坐标系中，方程的所有解的集合为。这个解集决定的点集就是平面，即方程的图像是平面。
基本方法
向量的坐标表示
在空间建立一个直角坐标系，沿轴，轴，轴的正方向各取单位向量依次记为，称为空间直角坐标系的三个基本单位向量。设坐标原点为，则空间中任意点对应的向量， 称为点的位置向量。这样可以建立空间点与向量的一一对应
，
为基本单位向量，. 设向量的坐标分别是，则
距离
设空间中两点为和，则向量可以记作。点和的距离为
。
方向余弦
有空间点，设向量与夹角分别为这些夹角称为向量的方向角，称为方向余弦。易得
向量及点的共线问题
有了向量的坐标表示后，可以把向量的线性运算解决几何问题的计算过程数量化。在几何上，平面上的一点和两个与此平面平行的不共线向量决定一张平面。因此，讨论点及向量的共线关系是求出平面方程的基础。
向量平行
设在一个空间坐标系中，向量的坐标是，则，
.
证明： 不妨设，（如果等于零向量则显然成立）
因为，所以存在实数，使得。于是，
.
不妨假定，记，即，从而
于是，从而.
三点共线
设平面直角坐标系中三点的坐标为,则三点共线等价于
.
证明：三点共线
.
坐标变换
在不同的坐标系中，点的坐标不同，从而图形的方程也不相同。在一些情形中，图形在事先给定的坐标系中的方程比较复杂，这时我们需要选择另一个合适的坐标系，使这个方程的图像变得比较简单。
设和是空间中两个不同的直角坐标系，这里，和是两个坐标系的原点，和分别是两个坐标系的基本单位向量。点在两个坐标系下的坐标分别是和。 下面，来看两种坐标之间的关系。
平移
设和的坐标系坐标轴方向相同，原点不同，即， 。 且有点在两个坐标系下的方向向量为
，
在坐标系下的坐标为，即
。
根据，则有
，
因此，得到平移时的坐标变换公式
。
旋转
设和的坐标系原点相同，但坐标轴方向不同。假设坐标系可由坐标系绕向量轴逆时针旋转后得到，那么对于空间中的点，它在坐标转换公式是
.
应用
解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具。它的生产和发展，曾在数学的发展过程中起着重要的作用，是大多数现代几何领域的基础，并且已经被应用到更多领域。
在计算机图形学中的应用
解析几何的发明也为计算机的发展铺平了道路。计算机图形学主要研究用计算机及其图形设备来输入、表示、交换、运算和输出图形的原理。计算机的图形显示是依赖于几何坐标实现的。只要是计算机图形软件，其内部的机理本质上就是空间坐标的运算。几何变换，如常见的空间平移、按特定位置旋转、按比例要求缩放和仿射变换等都在计算机图像中涉及到。计算机图像的几何变换实质是改变图像像素空间位置，按照变化关系计算图像在新空间的像素值，而这些都涉及到解析几何的知识。
在生产生活中的应用
解析几何对曲线的研究使人们对曲线的性质认识更深刻，椭圆、双曲线、抛物线等等被广泛应用在生产或生活中，特别表现在物理学、工程学、光学等方面的应用。在物理学中，解析几何用于描述二维和三维物体的运动。例如，在射弹研究中，解析几何用于确定射弹在空气中移动时的轨迹。在工程中，解析几何用于机械系统的设计和分析。在航空领域，解析几何用于计算飞机和火箭的轨迹；在空间科学中，解析几何用于计算航天器和卫星的轨迹。根据抛物线的性质，牛顿制成了反射望远镜。聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等也都是利用抛物线的原理制成的。
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1. 向量与坐标系.空间解析几何.2023-12-01